Question

2．△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=1．解答下列问题：
（1）求证：A=B；
（2）求c的值；
（3）若$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根向量数量积的定义转化为三角形的边角公式，利用正弦定理进行证明即可．
（2）利用余弦定理进行求解，
（3）根据向量数量积的模长公式结合三角形的面积公式进行计算．

解答 证明：（1）因$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，故bccosA=accosB，即bcosA=acosB．
由正弦定理，得sinBcosA=sinAcosB，故sin（A-B）=0，
因为-π＜A-B＜π，
故A-B=0，故 A=B．…（4分）
（2）因$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=1$，故bccosA=1，由余弦定理得$bc•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=1$，
即b²+c²-a²=2；又由（1）得a=b，
故c²=2，故$c=\sqrt{2}$．…（10分）
（3）由$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6}$得$|\overrightarrow{AB}{|^2}+|\overrightarrow{AC}{|^2}+2|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}|=6$，
即c²+b²+2=6，
故c²+b²=4，因c²=2，故$b=\sqrt{2}$，
故△ABC是正三角形，
故面积${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{（\sqrt{2}）^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（16分）

点评 本题主要考查向量数量积的应用，利用正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．考查了向量与三角函数的综合应用．