Question

18．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-1，x＜1}\\{2{x}^{2}，x≥1}\end{array}\right.$，则满足f（f（a））=2（f（a））²的a的取值范围为[$\frac{2}{3}$，+∞）∪{$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 令f（a）=t，则f（t）=2t²，讨论t＜1，及t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式或方程即可得到所求范围．

解答 解：令f（a）=t，
则f（t）=2t²，
若t＜1时，由f（t）=2t²得3t-1=2t²，即2t²-3t+1=0，得t=1（舍）或t=$\frac{1}{2}$，
当t≥1时，2t²=2t²成立，
即t≥1或t=$\frac{1}{2}$，
若a＜1，由f（a）≥1，即3a-1≥1，解得a≥$\frac{2}{3}$，且a＜1；此时$\frac{2}{3}$≤a＜1，
由f（a）=$\frac{1}{2}$得3a-1=$\frac{1}{2}$得a=$\frac{1}{2}$，满足条件，
若a≥1，由f（a）≥1，即2a²≥1，
∵a≥1，∴此时不等式2a²≥1恒成立，
由f（a）=$\frac{1}{2}$得2a²=$\frac{1}{2}$得a=±$\frac{1}{2}$，不满足条件，
综上$\frac{2}{3}$≤a＜1或a≥1．即a≥$\frac{2}{3}$．
综上可得a的范围是a≥$\frac{2}{3}$或a=$\frac{1}{2}$．
故答案为：[$\frac{2}{3}$，+∞）∪{$\frac{1}{2}$}

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．