Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1-ax+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，根据函数的单调性结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+4x-a}{{（1{-x}^{2}）}^{2}}$，
若f（x）在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上是单调函数，
只需f′（x）＞0或f′（x）＜0[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上恒成立即可，
a=0时，f′（x）＞0在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
a≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{-a＞0}\\{\frac{2}{a}＜0}\\{f′（\frac{1}{3}）=-\frac{10}{9}a+\frac{4}{3}≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-a＜0}\\{△=\frac{2}{a}＞0}\\{f′（\frac{1}{3}）f′（\frac{1}{2}）=（-\frac{10}{9}a+\frac{4}{3}）（-\frac{5}{4}a+2）＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＞$\frac{12}{5}$或a＜$\frac{4}{5}$，
综上，a∈（-∞，$\frac{4}{5}$）∪（$\frac{12}{5}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查二次函数的性质，是一道中档题．