Question

19．某校为了调查学生身体生长发育情况，随机抽取200名学生测得它们的身高（单位：cm），并按照区间[155，160），[160，165），[165，170），[170，175），[175，180）分组，得到样本的频率分布直方图．由于操作不慎，区间[165，170），[170，175），[175，180）的频率分布直方图被破坏了，如图所示．已知频率分布直方图中[165，170），[170，175），[175，180）间的矩形的高依次成等差数列，并且身高在[170，175）内的人数是身高在[175，180）的人数的2倍．
（1）求身高分别在区间[165，170），[170，175），[175，180）的人数，并将频率分布直方图补充完整；
（2）用分层抽样的方法从身高在区间[155，160），[170，175），[175，180）中抽取7人，现在从这抽出的7人中再抽取2人进行问卷调查，求身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出身高在区间[165，180]的频率，由此能求出身高分别在[165，170），[170，175），[175，180]的人数，并能将频率分布直方图补充完整．
（Ⅱ）应从区间[155，160），[170，175），[175，180]内分别抽取的人数分别为1人，4人，2人，身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的对立事件是身高在区间[170，175）中没有人进行问卷调查，由此利用对立事件概率计算公式能求出身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的概率．

解答 解：（Ⅰ）身高在区间[165，180]的频率为1-5×（0.01+0.07）=0.6，
设身高在区间[165，170），[170，175），[175，180）内的频率分别为a，b，c，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0.6}\\{a+c=2b}\\{b=2c}\end{array}\right.$，解得a=0.3，b=0.2，c=0.1，
∴身高分别在[165，170），[170，175），[175，180]的人数为60，40，20．
将频率分布直方图补充完整，如右图．
（Ⅱ）身高在[155，160），[170，175），[175，180]的人数分别为10，40，20，
∴应从区间[155，160），[170，175），[175，180]内分别抽取的人数分别为1人，4人，2人，
现在从这抽出的7人中再抽取2人进行问卷调查，基本事件总数n=${C}_{7}^{2}$=21，
身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的对立事件是身高在区间[170，175）中没有人进行问卷调查，
∴身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的概率：
p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图、分层抽样、列举法等知识点的合理运用．