Question

4．如图所示，⊙O的圆心O在Rt△ACD的斜边AC上，且⊙O过顶点A，与边CD相切于点E，与边AD、AC分别相交于点F，B．
（1）求证：AE是∠CAD的平分线；
（2）若CE=10，CB=5，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，则OE⊥CD，证明∠DAE=∠OAE，即可证明AE是∠CAD的平分线；
（2）若CE=10，CB=5，由切割线定理求出CA，利用余弦定理求AE的长．

解答 （1）证明：连接OE，则OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠DAE，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠DAE=∠OAE，
∴AE是∠CAD的平分线；
（2）解：若CE=10，CB=5，由切割线定理，可得10²=5•CA，
∴CA=20，
∴OA=OB=7.5，
∴cos∠COE=$\frac{7.5}{12.5}$=$\frac{4}{5}$
△OAE中，AE=$\sqrt{7．{5}^{2}+7．{5}^{2}-2×7.5×7.5×（-\frac{4}{5}）}$=$\frac{9}{2}\sqrt{10}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查切割线定理、余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．