Question

14．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，若2|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）＞=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 将2|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|两边平方，得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$与|$\overrightarrow{a}$|的关系，计算|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|和$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$，代入夹角公式计算．

解答 解：∵2|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}}{4}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=7${\overrightarrow{a}}^{2}$．∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$|$\overrightarrow{a}$|．
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2${\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2{\overrightarrow{a}}^{2}}{\sqrt{7}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，模长计算，属于基础题．