Question

14．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D，E分别在棱BC，B₁C₁上（均异于端点），且AD⊥C₁D，A₁E⊥C₁D．
（1）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：A₁E∥平面ADC₁．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥C₁D，AD⊥CC₁即可得出AD⊥平面BCC₁B₁，于是平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）同理可得A₁E⊥平面BCC₁B₁，于是A₁E∥AD，故而A₁E∥平面ADC₁．

解答 证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
因为AD?平面ABC，所以CC₁⊥AD．
又AD⊥C₁D，CC₁∩C₁D=C₁，CC₁?平面BCC₁B₁，C₁D?平面BCC₁B₁，
所以AD⊥平面BCC₁B₁，
又AD?平面ADC₁，
所以平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）因为A₁E⊥C₁D，由（1）同理可得，A₁E⊥平面BCC₁B₁，
又由（1）知，AD⊥平面BCC₁B₁，
所以A₁E∥AD，
又A₁E?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，
所以A₁E∥平面ADC₁．

点评 本题考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，属于中档题．