Question

已知函数f（x）=2x³-9ax²+12a²x，（a＞0）．
（1）若a=1，问函数f（x）图象过原点的切线有几条？求出切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，2]内的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=6x²-18x+12，由此能求出切线方程为y=12x或y=

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8

x．即共有两条切线过原点．
（2）f′（x）=6x²-18ax+12a²=6（x-a）（x-2a），由此根据a的取值范围利用导数的性质能求出函数f（x）在区间[0，2]内的最大值．

解答： 解：（1）a=1，f′（x）=6x²-18x+12，
设切点为（x0，2x03-9x02+12x0），
则切线方程为y-(2x03-9x02+12x0)=(6x02-18x0+12)（x-x₀），
∵切线过原点：即2x03-9x02+12x0=(6x02-18x0+12)x0，
∴x₀=0或x0=

9

4

，
∴切线方程为y=12x或y=

15

8

x．
即共有两条切线过原点．
（2）f′（x）=6x²-18ax+12a²=6（x-a）（x-2a），
且f（x）在[0，a]是递增，在[a，2a]上递减，在[2a，+∞）上递增，
f（x）在x=a时有极大值f（a）．
①当a＞2时，f（x）_max=f（2）=24a²-36a+16，
②当1≤a≤2时，f(x)max=f(a)=5a2，
③当0＜a＜1时，f（a）-f（2）=5a³-24a²+36a-16
=（5a-4）（a-2）²，
f（x）_max=

5a3， 4 5 ≤a＜1 24a2-36a+16，0＜a＜ 4 5

．
综上所述，f（x）_max=

24a2-36a+16，a＞2 5a3， 4 5 ≤a≤2 24a2-36a+16，0＜a＜ 4 5

．

点评：本题考查切线方程的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．