Question

设A={x|x³-7x²+14x-8=0}，B={x|x³+2x²-c²x-2c²=0，c＞0}
（1）求A，B的各个元素；
（2）以集合A∪B的任意元素a，b作为二次方程x²+px+q=0的两个根，在f（x）=x²+px+q的最小值中，求出最大的a，b的值或最小的a，b的值．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断,二次函数的性质

专题：集合

分析：（1）对原方程进行分解因式即可求出方程的解，需要讨论c的取值．
（2）先求出f（x）的最小值，并用a，b表示．然后讨论c得出A∪B，根据A∪B即可得出a取何值，b取何值时f（x）的最小值分别取最小值或最大值．

解答： 解：（1）x³-7x²+14x-8=（x³-1）-7（x²-2x+1）=（x-1）（x²+x+1）-7（x-1）²=（x-1）（x²-6x+8）=0；
∴x=1，或x=2，x=4，∴A={1，2，4}．
x³+2x²-c²x-2c²=x²（x+2）-c²（x+2）=（x+2）（x²-c²）=0；
∴x=-2或x=±c，
∴当c=2时，B={-2，2}；
当c≠2时，B={-2，-c，c}．
（2）f（x）的最小值为：

4q-p2

4

；
由韦达定理得：

a+b=-p ab=q

，∴f（x）的最小值变成：

-(a-b)2

4

；
∴①若c=1，A∪B={-2，-1，1，2，4}，a=-2，b=-1，或a=-1，b=-2；a=-1，b=1；a=1，b=-1；a=1，b=2；
a=2，b=1时

-(a-b)2

4

取最大-

1

4

；a=-2，b=4或a=4，b=-2时取最小值-9．
②若c=2，A∪B={-2，1，2，4}，a=1，b=2，或a=2，b=1时，取最大值-

1

4

；a=-2，b=4，或a=4，b=-2时取最小值-9．
③若c=4，A∪B={-4，-2，1，2，4}，a=1，b=2，或a=2，b=1时，取最大值-

1

4

；a=-4，b=4或a=4，b=-2时取最小值-16．
④若c≠1，2，4时，A∪B={-c，1，2，4，c}．
若0＜c＜2，c≠1，a=c，b=1时，取最大值

-(c-1)2

4

；a=4，b=-c，或a=-c，b=4取最小值-

(4+c)2

4

；
若2＜c≤3，c≠2，a=2，b=1时，取最大值-

1

4

；a=-c，b=4或a=4，b=-c时取最小值

-(4+c)2

4

；
若3＜c≤5，c≠4，a=4，b=c时，取最大值-

(4-c)2

4

；a=4，b=-c或a=-c，b=4时取最小值

-(4+c)2

4

；
若c＞5，a=2，b=1时，取最大值-

1

4

；a=4，b=-c，或a=-c，b=4时取最小值

-(4+c)2

4

．

点评：本题考查分解因式的方法求方程的解，集合元素的互异性，韦达定理，二次函数的最小值．