Question

设函数f（x）=cosx（sinx-3cosx）-

2

sinxsin（x-

π

4

）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）求f（x）的对称中心；
（3）将y=f（x）的图象按向量

m

平移后得到的图象关于坐标原点对称，求长度最小的

m

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据正余弦的二倍角公式，正弦的两角差公式容易把原函数化简成：f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-2．
（2）根据正弦函数的对称中心（kπ，0）容易求出函数f（x）的对称中心．
（3）图象关于原点对称，说明原点是平移后函数的对称中心，可以认为将对称中心平移到原点，这就从对称中心到原点建立了向量

m

，所以能求出向量

m

的坐标．

解答： 解：（1）f（x）=cosxsinx-3cos²x-sin²x+sinxcosx=sin2x-

3(1+cos2x)

2

-

1-cos2x

2

=

2

sin(2x-

π

4

)-2；
∴当sin(2x-

π

4

)=1时，f（x）取最大值

2

-2．
（2）由2x-

π

4

=kπ得x=

kπ

2

+

π

8

，k∈z，∴f（x）的对称中心为（

kπ

2

+

π

8

，-2）．
（3）由（2）知：

m

=(-

kπ

2

-

π

8

，2)，∴|

m

|=

( kπ 2 + π 8 )2+4

．
∴当k=0，|

m

|最小，此时

m

=(-

π

8

，2)．

点评：考查二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，对称中心的概念及正弦函数的对称中心，向量平移的内容．