Question

已知函数f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

（a∈R，a≠0），g（x）=x²+x．
（1）求函数h（x）=alnx-

a(x-1)

x+1

•g（x）的单调区间，并确定其零点个数；
（2）若f（x）在其定义域内单调递增，求a的取值范围；
（3）证明不等式 

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

＜ln

n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得h（x）=alnx-ax²+ax，（x＞0），h′(x)=a(

1

x

-2x+1)，(x＞0)=-

2a(x-1)(x+ 1 2 )

x

，由此根据a的范围进行分类讨论，能求出函数的单调区间和零点个数．
（2）f′(x)=

1

x

-

a[x+1-(x-1)]

(x+1)2

=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

，x＞0，由此利用导数性质能求出a的取值范围．
（3）当a=2时，f（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

在（0，+∞）内递增，由此利用累加法能证明

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

＜ln

n+1

（n∈N^*）．

解答： （1）解：∵f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

（a∈R，a≠0），g（x）=x²+x，
h（x）=alnx-

a(x-1)

x+1

•g（x），
∴h（x）=alnx-ax²+ax，（x＞0）…（1分）
则h′(x)=a(

1

x

-2x+1)，(x＞0)
=

a(2x2-x-1)

x

=-

2a(x-1)(x+ 1 2 )

x

，…（2分）
（i）若a＞0，则当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
∴（0，1）为h（x）的增区间，（1，+∞）为h（x）的减区间．…（3分）
极大值为h（1）=aln1-a+a=0，
∴h（x）只有一个零点x=1．
（ii）若a＜0，则当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴（0，1）为h（x）的减区间，（1，+∞）为h（x）的增区间．
极小值为h（1）=aln1-a+a=0，…（4分）
∴h（x）只有一个零点x=1．
综上所述，
当a＜0时，（0，1）为h（x）的减区间，（1，+∞）为h（x）的增区间，h（x）有且只有一个零点；
当a＞0时，（0，1）为h（x）的增区间，（1，+∞）为h（x）的减区间，h（x）有且只有一个零点．…（5分）
（2）f′(x)=

1

x

-

a[x+1-(x-1)]

(x+1)2

=

1

x

-

2a

(x+1)2

=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

，x＞0．…（6分）
由f（x）在其定义域内单调递增，知?x∈（0，+∞），f′（x）≥0恒成立．
则x²+（2-2a）x+1≥0，?x∈（0，+∞）恒成立．…（7分）
由二次函数的图象开口向上，过定点（0，1），
得a-1≤0或

a-1＞0 △≤0

．…（8分）
则a≤1或

a-1＞0 (2-2a)2-4≤0

，则a≤1或

a＞1 0≤a≤2

，得a≤2．
可以验证当a=2时，f（x）在其定义域（0，+∞）内单调递增，
故a≤2．…（9分）
（3）证明：由（2）知当a=2时，f（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

在（0，+∞）内单调递增，
而f（1）=ln1-

2(1-1)

1+1

=0，
∴当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，即lnx＞

2(x-1)

x+1

，x＞1…（10分）
令x=1+

1

n

，n∈N^*，则ln（1+

1

n

）＞

2(1+ 1 n -1)

1+ 1 n +1

，…（11分）
则ln

n+1

n

＞

2

2n+1

，
∴ln

n

n-1

＞

2

2n-1

，ln

n-2

n-3

＞

2

2n-3

，…，ln

3

2

＞

2

5

，ln

2

1

＞

2

3

，
以上n个式子累加，得：
ln

n+1

n

+ln

n

n-1

+…+ln

3

2

+ln2＞

2

2n+1

+

2

2n-1

+…+

2

5

+

2

3

，…（12分）
则ln（

n+1

n

•

n

n-1

×…×

3

2

×2）＞2（ 

1

2n+1

+

1

2n-1

+…+

1

5

+

1

3

），
则ln（n+1）＞2（

1

2n+1

+

1

2n-1

+…+

1

5

+

1

3

）…（13分）
则

1

2

ln(n+1)＞

1

2n+1

+

1

2n-1

+…+

1

5

+

1

3

，
故

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

＜ln

n+1

（n∈N^*）．…（14分）

点评：本题考查函数的单调区间和零点个数的求法，考查实数的取值范围的求解，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．