Question

已知函数f（x）=x³+bx²-3x（b∈（-∞，0]），且函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，所以f′（x）≥0，对?x∈[1，+∞）恒成立，分离参数，求最值，即可求函数f（x）的解析式；
（2）由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解；
（3）设切点，求出切线方程，过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，可得方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三个不同的实数解，即函数g（x）=2x³-6x²+6+m有三个不同的零点，从而可求实数m取值范围．

解答： 解：（1）由题意得f′（x）=3x²+2bx-3，
因为函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
所以f′（x）≥0，对?x∈[1，+∞）恒成立，
所以2b≥

3

x

-3x对?x∈[1，+∞）恒成立，
令φ（x）=

3

x

-3x，则φ′（x）=3-

3

x2

，
所以当?x∈[1，+∞）时，φ′（x）＜0恒成立，
所以函数φ（x）是[1，+∞）上的单调减函数，
所以当?x∈[1，+∞）时，函数φ（x）的最大值是ψ（1）=0，
故2b≥0，即b≥0，
又因为b∈（-∞，0]，所以b=0，
所以f（x）=x³-3x．
（2）由（1）可得，f′（x）=3x²-3，由f′（x）=3x²-3=0解得x=±1，
∴f（x）在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增
∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴当x∈[-2，2]时，f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min≤4，
∴c≥4，∴c的最小值为4．
（3）∵点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，
∴设切点为（x₀，y₀），则y₀=x₀³-3x₀，
∵f′（x₀）=3x₀²-3，
∴切线的斜率为3x₀²-3，则3x₀²-3=

x03-3x0-m

x0-2

，
即2x₀³-6x₀²+6+m=0，
因为过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，
所以方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三个不同的实数解．
即函数g（x）=2x₀³-6x₀²+6+m有三个不同的零点，
则g′（x）=6x²-12x，令g′（x）=0，解得x=0或x=2，

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由题意可得g（0）＞0，且g（2）＜0，
所以6+m＞0，且m-2＜0，解得：-6＜m＜2，
所以所求实数m的取值范围是-6＜m＜2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查学生分析转化问题的能力，正确转化是关键．