Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，

3

2

）
（Ⅰ）椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）当直线l的倾斜角为45°时，求|MN|的长；
（2）求△MF₁N的内切圆的面积的最大值，并求出当△MF₁N的内切圆的面积取最大值时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的焦距2c=1结合隐含条件得关于a，b的一个方程，再由椭圆过点P（1，

3

2

）得另一方程，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）（1）写出直线l的方程和椭圆方程联立后由弦长公式求得|MN|的长；
（2）设出直线l的方程x=my+1，和椭圆方程联立，得到当S△MF1N最大时，r也最大，△MF₁N的内切圆面积也最大，利用根与系数关系把△MF₁N的面积转化为含有m的代数式，换元后利用导数判断其单调性，由函数单调性求得最值并得到直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得a²-b²=c²=1，且

1

a2

+

9 4

b2

=1，
解得：a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）（1）直线l的方程为y=x-1，
联立

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

，消去x得，7x²-8x-8=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

8

7

，x1x2=-

8

7

．
∴|MN|=

1+1

|x1-x2|=

2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

×

( 8 7 )2+4× 8 7

=

24

7

；
（2）设直线l的方程为：x=my+1，由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得
（3m²+4）y²+6my-9=0．
△=（6m）²+36（3m²+4）=144m²+144＞0．
y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

．
设△MF₁N的内切圆半径为r，由S△MF1N=

1

2

(|MF1|+|NF1|+|MN|)•r=4r可知，
当S△MF1N最大时，r也最大，△MF₁N的内切圆面积也最大．
由S△MF1N=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 m2+1

3m2+4

．
令t=

m2+1

，则t≥1，且m²=t²-1，则S△MF1N=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

．
令f（t）=3t+

1

t

，(t≥1)，
则f′(t)=3-

1

t2

＞0，从而f（t）在区间[1，+∞）上单调递增，
故有f（t）≥f（1）=4．
∴S△MF1N≤3．
即当t=1，m=0时，S△MF1N有最大值3，即rmax=

3

4

．
这时△MF₁N的内切圆面积的最大值为

9

16

π，直线l的方程为x=1．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．