Question

设函数f（x）=x³+ax²+bx的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的极值；
（Ⅲ）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²+2ax+b．依题意

f(1)=1+a+b=4 f′(1)=3+2a+b=0

，由此求出f（x）=x³-6x²+9x． 
（Ⅱ）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），由f′（x）=0，得x=1或x=3．列表讨论，能求出函数f（x）的极值．
（Ⅲ）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上，由此利用分类讨论思想能求出不存在正数s，t满足要求．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
依题意则有：

f(1)=1+a+b=4 f′(1)=3+2a+b=0

，
解得a=-6，b=9，
∴f（x）=x³-6x²+9x． …（3分）
（Ⅱ）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f′（x）=0，得x=1或x=3．…（4分）
列表讨论，得：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	4	减函数	0	增函数

∴函数f（x）=x³-6x²+9x极大值是4，极小值是0．…（7分）
（Ⅲ）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上，
①若极值点1∈[s，t]，
此时0＜s≤1≤t＜3，在此区间上f（x）的最大值是4，不可能等于t，
故在区间[s，t]上没有极值点；
②若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调增，
即0＜s＜t≤1或3＜s＜t，
则

f(s)=s f(t)=t

，即

s3-6s2+9s=s t3-6t2+9t=t

，解得

s=2 t=4

不合要求．
（3）若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调减，
即1≤s＜t＜3，则

f(s)=t f(t)=s

，
两式相减并除s-t，得：（s+t）²-6（s+t）-st+10=0，①
两式相除并开方，得[s（s-3）]²=[t（t-3）]²，即s（3-s）=t（3-t），
整理，并除以s-t，得：s+t=3，②
则①、②得

s+t=3 st=1

，即s，t是方程x²-3x+1=0的两根，
即s=

3- 5

2

，t=

3+ 5

2

 不合要求；
综上，不存在正数s，t满足要求．…（14分）

点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数的极值的求法，考查满足条件的正数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．