Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx（a＞0），若存在x₁，x₂∈（1，e），且x₁＜x₂，使得 f（x₁）=f（x₂）=0，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：由题意，f（x）=

1

2

x²-alnx=0在（1，e）上有解，可得a=

1 2 x2

lnx

，求出右边函数的值域，即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：由题意，f（x）=

1

2

x²-alnx=0在（1，e）上有解，
∴a=

1 2 x2

lnx

，
令y=

1 2 x2

lnx

，y′=

x(lnx- 1 2 )

ln2x

∴函数在（1，

e

）上单调递减，在（

e

，e）上单调递增，
∴x=

e

时，函数取得最小值e，
又x=e时，y=

1

2

e²，
∴实数a的取值范围是[e，

1

2

e²）．
故答案为：[e，

1

2

e²）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查参数的分离，考查函数的单调性与值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．