Question

16．如图所示，点P在正六边形ABCDEF上按A→B→C→D→E→F→A的路径运动，其中AB=4，则$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$的取值区间为（　　）

• A． [-2，6]
• B． [-8，24]
• C． [0，4]
• D． [4，6]

Answer 1

分析 连接AE，可分别以直线AB，AE为x，y轴，建立平面直角坐标系，可得到$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$，设P（x，y），讨论P点在各边的位置，确定P的坐标范围．从而得到数量积范围．

解答 解：连接AE，则AE⊥AB；
∴分别以直线AB，AE为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系：AB=4，设P（x，y），
∴$\overrightarrow{AB}$=（4，0），$\overrightarrow{AP}$=（x，y），
（1）若P点在边AB上时，y=0，0≤x≤4，
∴P（x，0）；
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=4x，0≤4x≤16；
（2）若P在边BC上，x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+4，0≤y≤2$\sqrt{3}$，
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+4，y），
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}y$+16；
∴16≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤24；
（3）若P在边CD上，x=6-$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，2$\sqrt{3}$≤y$≤4\sqrt{3}$，
∴P（6-$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，y）；
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=24-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$y，
∴8≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤16；
（4）若P在边DE上，0≤x≤4，P（x，y）；
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=4x；
∴0≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤16；
（5）若P在边EF或FA上，-2≤x≤0，P（x，y）；
∴-8≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤0；
∴综上得$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$的取值区间为[-8，24]．
故选B．

点评 本题考查正六边形的性质，以及通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积的方法，讨论P点在每一边上时数量积的范围，数量积的坐标运算．