Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，侧面均是边长为2的正方形，AA₁⊥底面ABC，D是线段BB₁的中点．
（1）求证：平面A₁CD⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C-A₁D-C₁的正弦值．

Answer 1

（1）证明：连接AC₁，设O=AC₁∩A₁C，连接OD
∵底面ABC为正三角形，侧面均是边长为2的正方形
∴DA=DA₁=DC=DC₁=，OA=OA₁=OC=OC₁
∴DO⊥AC₁，DO⊥A₁C
∵AC₁∩A₁C=O
∴DO⊥平面AA₁C₁C，
∵DO?平面A₁CD
∴平面A₁CD⊥平面AA₁C₁C；
（2）解：以O为坐标原点，OA，OA₁，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则O﹙0，0，0﹚，A₁﹙0，，0﹚，C₁﹙-，0，0﹚D﹙0，0，﹚则，
设平面A₁C₁D的法向量为，由，可得，取
又OA⊥平面A₁CD，则平面A₁CD的一个法向量为
∴cos==-
∴二面角C-A₁D-C₁的正弦值为．
分析：（1）证明DO⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的判定，可以证明平面A₁CD⊥平面AA₁C₁C；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面A₁C₁D的法向量，平面A₁CD的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确运用向量法解决面面角问题，属于中档题．