Question

9．已知同一平面上的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角相等，并且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，则向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$的长度为（　　）

• A． 6
• B． $\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 6或$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角为0或向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角为$\frac{2π}{3}$，再根据|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）}^{2}}$，计算求得结果．

解答 解：同一平面上的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角相等，
则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角为0或向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角为$\frac{2π}{3}$，
若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角为0，则由|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，可得|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=6．
若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角为0，则由|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，
可得|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}{+\overrightarrow{c}}^{2}+2•\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2•\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2•\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$
=$\sqrt{1+4+9+2•1•2•（-\frac{1}{2}）+2•1•3（-\frac{1}{2}）+2•2•3•（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，判断向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角为0或向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角为$\frac{2π}{3}$，是解题的关键，属于中档题．