Question

11．在三棱锥P-ABC中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）若D为AC的中点，且PA=4，AB=2$\sqrt{2}$，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥BC，PA⊥BC，由此能证明BC⊥PB．
（2）由V_P-DBC=V_D-PBC，能求出点D到平面PBC的距离．

解答 解：（1）∵△ABC为直角三角形，AB=BC，∴AB⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，BC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴BC⊥PB．
（2）由AB=BC，PA=4，$AB=2\sqrt{2}$，
根据已知得$PB=2\sqrt{6}$，
∴${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}BC•PB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{6}=4\sqrt{3}$，
${S_{△DBC}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2$，
∴${V_{P-DBC}}=\frac{1}{3}{S_{△DBC}}×PA=\frac{8}{3}$，
设点D到平面PBC的距离为h，
则${V_{D-PBC}}=\frac{h}{3}{S_{△PBC}}=\frac{{4\sqrt{3}h}}{3}$，
∵V_P-DBC=V_D-PBC，∴$h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
∴点D到平面PBC的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．