Question

16．已知圆P过点A（1，0），B（4，0）．
（1）若圆P还过点C（6，-2），求圆P的方程；
（2）若圆心P的纵坐标为 2，求圆P的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆P的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，则由已知得$\left\{\begin{array}{l}{1^2}+{0^2}+D+0+F=0\\{4^2}+{0^2}+4D+0+F=0\\{6^2}+{（-2）^2}+6D-2E+F=0\end{array}\right.$，求出D，E，F，即可求圆P的方程；
（2）若圆心P的纵坐标为 2，求出圆心与半径，即可求圆P的方程．

解答 解：（1）设圆P的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，则由已知得$\left\{\begin{array}{l}{1^2}+{0^2}+D+0+F=0\\{4^2}+{0^2}+4D+0+F=0\\{6^2}+{（-2）^2}+6D-2E+F=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}D=-5\\ E=7\\ F=4\end{array}\right.$．
故圆P的方程为x²+y²-5x+7y+4=0．
（2）由圆的对称性可知，圆心P的横坐标为$\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$，故圆心$P（\frac{5}{2}，2）$，
故圆P的半径$r=|AP|=\sqrt{{{（1-\frac{5}{2}）}^2}+{{（0-2）}^2}}=\frac{5}{2}$，
故圆P的标准方程为${（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-2）^2}=\frac{25}{4}$．

点评 本题考查圆的方程，考查待定系数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．