Question

7．已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a_n}满足a_n=f（3ⁿ）（n∈N₊），且a₁=3，则数列的通项公式为a_n=n•3ⁿ．

Answer 1

分析 利用赋值法，令x=3，y=3ⁿ，得f（3ⁿ⁺¹）=3f（3ⁿ）+3ⁿf（3），又因为a₁=f（3）=3，${a}_{n}=f（{3}^{n}）$，则${a}_{n+1}=3{a}_{n}+{3}^{n+1}$，再转化为$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=1$，故$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是首项和公差均为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=n$，则${a}_{n}=n•{3}^{n}$．

解答 解：∵${a}_{n}=f（{3}^{n}）$，∴${a}_{n+1}=f（{3}^{n+1}）$，且a₁=f（3）=3，
∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立，
∴f（3ⁿ⁺¹）=f（3×3ⁿ）=3f（3ⁿ）+3ⁿf（3），即${a}_{n+1}=3{a}_{n}+{3}^{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}+1$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=1$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{3}=1$，
∴$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是首项和公差均为1的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=1+（n-1）•1=n$
∴${a}_{n}=n•{3}^{n}$
故答案为：n•3ⁿ

点评 本题考查了抽象函数的性质应用、利用递推式构造新数列以及等差数列的定义和通项公式，属于中档题．