Question

1．已知S_n为等比数列{a_n}的前n项和，a₁=8，且a₄-1，a₅，3a₄+1成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n
（2）若b_n=log₂（a_n•a_n+1），c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a₄-1，a₅，3a₄+1成等差数列．可得2a₅=a₄-1+3a₄+1，可得公比q，再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质可得b_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₄-1，a₅，3a₄+1成等差数列．
∴2a₅=a₄-1+3a₄+1，∴q=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=2．
∴a_n=8×2^n-1=2ⁿ⁺²，S_n=$\frac{8（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺³-8．
（2）b_n=log₂（a_n•a_n+1）=$lo{g}_{2}{2}^{2n+5}$=2n+5，
∴c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+5）（2n+7）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）$+$（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）$+…+$（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{7}-\frac{1}{2n+7}）$
=$\frac{n}{7（2n+7）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．