Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间与极值；

（2）若，关于的不等式恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 的单调递增区间为，单调递减区间为， 的极大值，无极小值;(2) 的最小值为1.

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，并求定义域上导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间及极值，（2）不等式恒成立问题一般转化为研究对应函数最值，即,先根据导函数零点情况分类讨论：当时， ，无最大值，当时函数先增后减，因此的最大值为，即得，由于时， 成立，因此的最小值为1.

试题解析：（1）∵时， ，

∴，

∴； ， ，

∴的单调递增区间为，单调递减区间为， 的极大值，无极小值.

（2）∵，

∴，

当时， 恒成立， 单调递增，无最大值，

∵恒成立，∴不成立.

当时，∴， ； ，

∴在区间上单调递增区间上单调递减，

的最大值为，即，

∵，∴显然， 时， 成立的，

∴的最小值为1.