Question

【题目】（文科）已知的椭圆的左、右两个焦点分别为，上顶点， 是正三角形且周长为6.

(1)求椭圆的标准方程及离心率；

(2) 为坐标原点， 是直线上的一个动点，求的最小值，并求出此时点的坐标.

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) ， .

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义和周长为，建立关于的方程组，解之得且，即可得到椭圆的标准方程，用离心率的公式即可得到该椭圆的离心率；（2）设直线的方程为，求出原点关于直线的对称点的坐标为，从而得到的最小值为，再由的方程与方程联解，即可得到此时点的坐标.

试题解析：(1)由题意，

解得.

所以椭圆的标准方程为，离心率.

(2)因为是正三角形，可得直线的斜率为，

所以直线的方程为.

设点关于直线的对称点为，则

解得，可得坐标为.

因为，所以.

所以的最小值，

直线的方程为，

即.

由解得，

所以此时点的坐标为.

综上所述，可求的的最小值为，此时点的坐标为.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.