【题目】(文科)已知的椭圆的左、右两个焦点分别为
,上顶点
,
是正三角形且周长为6.
(1)求椭圆的标准方程及离心率;
(2) 为坐标原点,
是直线
上的一个动点,求
的最小值,并求出此时点
的坐标.
【答案】(1) ,
;(2)
,
.
【解析】试题分析:(1)根据椭圆的定义和周长为
,建立关于
的方程组,解之得
且
,即可得到椭圆
的标准方程,用离心率的公式即可得到该椭圆的离心率;(2)设直线
的方程为
,求出原点
关于直线
的对称点
的坐标为
,从而得到
的最小值为
,再由
的方程
与
方程联解,即可得到此时点
的坐标.
试题解析:(1)由题意,
解得.
所以椭圆的标准方程为
,离心率
.
(2)因为是正三角形,可得直线
的斜率为
,
所以直线的方程为
.
设点关于直线
的对称点为
,则
解得,可得
坐标为
.
因为,所以
.
所以的最小值
,
直线的方程为
,
即.
由解得
,
所以此时点的坐标为
.
综上所述,可求的的最小值为
,此时点
的坐标为
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及曲线过定点问题,属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法:① 探索曲线过定点时,可设出曲线方程 ,然后利用条件建立等量关系进行消元,借助于曲线系的思想找出定点,或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
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【题目】现在人们都注重锻炼身体,骑车或步行上下班的人越来越多,某学校甲、乙两名教师每天可采用步行、骑车、开车三种方式上下班,步行到学校所用时间为1小时,骑车到学校所用时间为0.5小时,开车到学校所用时间为0.1小时,甲、乙两人上下班方式互不影响.设甲、乙步行的概率分别为、
,骑车的概率分别为
、
.
(1) 求甲、乙两人到学校所用时间相同的概率;
(2) 设甲、乙两人到学校所用时间和为随机变量,求
的分布列及数学期望.
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【题目】已知椭圆的中心为原点
,离心率
,其中一个焦点的坐标为
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当点在椭圆
上运动时,设动点
的运动轨迹为
若点
满足:
其中
是
上的点.直线
的斜率之积为
,试说明:是否存在两个定点
,使得
为定值?若存在,求
的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,一架飞机以600km/h的速度,沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行,飞行了36min后到达E地,飞机由于天气原因按命令改飞C地,已知AD=600 km,CD=1200km,BC=500km,且∠ADC=30°,∠BCD=113°.问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行,此时E地离C地的距离是多少?(参考数据:tan37°=
)
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【题目】(文科)在下列结论中①“”为真是“
”为真的充分不必要条件;②“
”为假是“
”为真的充分不必要条件;③“
”为真是“
”为假的充分不必要条件;④“
” 为真是“
”为假充分不必要条件.正确的是__________.
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【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日 期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
昼夜温差x(°C) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就诊人数y(个) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率;
(2)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
(参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ,
)
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