Question

设f（x）=6cos²x-2

3

sinxcosx
（1）将f（x）化为f（x）=Acos（ωx+ϕ）+K（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜

π

2

）的形式，并求出f（x）的最小正周期；
（2）若锐角α满足f（α）=3-2

3

，求tanα的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式、两角差的余弦公式化简解析式，再由周期公式求出函数的周期；
（2）将f（α）=3-2

3

代入解析式化简，由锐角α的范围求出α，再由两角和的正切公式求出tanα的值．

解答： 解：（1）由题意得，

f(x)= 6(1+cos2x) 2 - 3 sin2x

=

2 3

cos(2x+

π

6

)+3，
所以f（x）的最小正周期是

2π

2

=π；…（5分）
（2）因为f（α）=3-2

3

，所以2

3

cos(2x+

π

6

)+3=3-2

3

，
即cos(2x+

π

6

)=-1，
又0＜α＜

π

2

，

π

6

＜2α+

π

6

＜π+

π

6

，
所以2α+

π

6

=π，α=

5π

12

，
则tanα=tan

5π

12

=tan(

π

4

+

π

6

)=

1+ 3 3

1- 3 3

=2+

3

…（10分）

点评：本题考查了二倍角公式、两角差的余弦公式、两角和的正切公式，以及三角函数的周期，属于中档题．