【题目】已知函数,
(
为自然对数的底数).
(1)设曲线在
处的切线为
,若
与点
的距离为
,求
的值;
(2)若对于任意实数,
恒成立,试确定
的取值范围;
(3)当时,函数
在
上是否存在极值?若存在,请求出极值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 或
(2)
(3)不存在
【解析】试题分析:
(1)该问切点横坐标已知,则利用切点在曲线上,带入曲线即可得到切点的纵坐标,对
进行求导并得到在切点处的导函数值即为切线的斜率,有切线的斜率,切线又过切点,利用直线的点斜式即可求的切线的方程,利用点到直线的距离公式结合条件点
到切线的距离为
即可求的参数
的值.
(2)该问为恒成立问题可以考虑分离参数法,即把参数a与x进行分离得到,则
,再利用函数的导函数研究函数
在区间
的最大值,即可求的a的取值范围.
(3)根据极值的定义,函数在区间
有零点且在零点附近的符号不同,求导可得
,设
,求
求导可以得到
的导函数在区间
恒为正数,则函数
在区间
上是单调递增,即可得到函数
进而得到
恒成立,即
在区间
上没有零点,进而函数
没有极值.
试题解析:
(1),
.
在
处的切线斜率为
, 1分
∴切线的方程为
,即
. 3分
又切线与点
距离为
,所以
,
解之得, 或
5分
(2)∵对于任意实数恒成立,
∴若,则
为任意实数时,
恒成立; 6分
若
恒成立,即
,在
上恒成立, 7分
设则
, 8分
当时,
,则
在
上单调递增;
当时,
,则
在
上单调递减;
所以当时,
取得最大值,
, 9分
所以的取值范围为
.
综上,对于任意实数恒成立的实数
的取值范围为
. 10分
(3)依题意, ,
所以, 2分
设,则
,当
,
故在
上单调增函数,因此
在
上的最小值为
,
即, 12分
又所以在
上,
,
即在
上不存在极值. 14分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的焦点在
轴上,离心率为
,抛物线
的焦点在
轴上,
的中心和
的顶点均为原点,点
在
上,点
在
上,
(1)求曲线,
的标准方程;
(2)请问是否存在过抛物线的焦点
的直线
与椭圆
交于不同两点
,使得以线段
为直径的圆过原点
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某单位的职工食堂中,食堂每天以元/个的价格从面包店购进面包,然后以
元/个的价格出售.如果当天卖不完,剩下的面包以
元/个的价格卖给饲料加工厂.根据以往统计资料,得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了
个面包,以
(单位:个,
)表示面包的需求量,
(单位:元)表示利润.
(Ⅰ)求关于
的函数解析式;
(Ⅱ)求食堂每天面包需求量的中位数;
(Ⅲ)根据直方图估计利润不少于
元的概率;
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数).以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点
的极坐标方程为
.
(1)求点的直角坐标,并求曲线
的普通方程;
(2)设直线与曲线
的两个交点为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;
(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
(3)设该方程的两个实数根分别为x1 , x2 , 若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求a的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到以下数据:
单价x(元/件) | 60 | 62 | 64 | 66 | 68 | 70 |
销量y(件) | 91 | 84 | 81 | 75 | 70 | 67 |
(I)画出散点图,并求关于
的回归方程;
(II)已知该产品的成本是36元/件,预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,为使企业获得最大利润,该产品的单价应定为多少元(精确到元)?
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
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【题目】全世界越来越关注环境保护问题,某监测站点于2016年8月某日起连续天监测空气质量指数
,数据统计如下:
空气质量指数 | |||||
空气质量等级 | 空气优 | 空气良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天数 |
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值,并完成頻率分布直方图:
(2)由頻率分布直方图,求该组数据的平均数与中位数;
(3)在空气质量指数分别为和
的监测数据中,用分层抽样的方法抽取
天,从中任意选取
天,求事件
“两天空气都为良”发生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组,参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》.活动共有四关,若四关都闯过,则闯关成功,否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是,女生闯过一至四关的概率依次是
.
(Ⅰ)求男生甲闯关失败的概率;
(Ⅱ)设表示四人冲关小组闯关成功的人数,求随机变量
的分布列和期望.
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