Question

（1）设f（x）=

x2(x≤0) cosx-1(x＞0)

试求

∫

π 2 -1

f（x）dx．
（2）求函数y=

1

3

x与y=x-x²围成封闭图形的面积．

Answer 1

考点：定积分,定积分在求面积中的应用

专题：导数的概念及应用

分析：（1）分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成dx=

∫

0 -1

f(x)dx

+∫

π 2 0

f(x)dx，再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．
（2）先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出函数y=

1

3

x与y=x-x²围成封闭图形的面积．即可求得结论

解答： 解：（1）

∫

π 2 -1

f（x）dx=

∫

0 -1

f(x)dx

+∫

π 2 0

f(x)dx=

∫

0 -1

x2dx

∫+

π 2 0

(cosx-1)dx=

1

3

x2

|

0 -1

+(sinx-x)

|

π 2 0

=

1

3

+1-

π

2

=

4

3

-

π

2

．
（2）由

1

3

x=x-x²得x=0，x=

2

3

，
则

∫

2 3 0

(x-x2)dx-

∫

2 3 0

1

3

xdx=(

1

2

x2-

1

3

x3)

|

2 3 0

-(

1

6

x2)

|

2 3 0

=

4

81

，
故函数y=

1

3

x与y=x-x²围成封闭图形的面积为

4

81

点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、利用定积分求封闭图形的面积是求面积的通法，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．