Question

【题目】已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2 ， 且椭圆E过点（0， ），（ ，﹣ ），点A是椭圆上位于第一象限的一点，且△AF1F2的面积S△ = ．
（1）求点A的坐标；
（2）过点B（3，0）的直线l与椭圆E相交于点P、Q，直线AP、AQ分别与x轴相交于点M、N，点C（ ，0），证明：|CM||CN|为定值，并求出该定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于椭圆E过点（0， ），（ ，﹣ ），

∴ ，解得b=c= ，a2=6，

∴椭圆E的方程为： ．

∵△AF1F2的面积S△AF1F2= ．

∴ = ，

∴yA=1，代入椭圆方程可得： ，

∵xA＞0，解得xA=2．

∴A（2，1）．

（2）证明：设直线l的方程为：my=x﹣3，P（x1，y1），Q（x2，y2）．

直线AP的方程为：y﹣1= （x﹣2），可得M ，即M ．

直线AQ的方程为：y﹣1= （x﹣2），可得N ，即N ．

联立 ，化为：（2+m2）y2+6my+3=0．

△＞0，可得m2＞1．

∴y1+y2= ， ．

∴|CM||CN|= =

=

= = = ，为定值．

【解析】（1）由于椭圆E过点（0， ），（ ，﹣ ），联立 ，可得椭圆的方程．由于△AF1F2的面积S△AF1F2= ，利用 = ，可得yA=1，代入椭圆方程可得得xA ． 即可得出A的坐标．（2）设直线l的方程为：my=x﹣3，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．直线AP的方程为：y﹣1= （x﹣2），M ．同理可得N ．联立 ，化为：（2+m2）y2+6my+3=0．利用根与系数的关系可得y1+y2 ， y1y2 ． 即可证明|CM||CN|为定值．