Question

（2010•朝阳区二模）已知函数f（x）=x²-alnx（常数a＞0）．
（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，e^a）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析：解：（Ⅰ）先求函数的导函数f'（x），然后求出fˊ（1）即为切线的斜率，根据且点（1，f（1））与斜率可求出切线方程；
（Ⅱ）设g（a）=e^a-a（a≥0），然后利用导数研究函数的单调性可证得e^a＞a（a≥0），求出函数的导函数f′（x），然后利用导数研究函数f（x）在区间（1，e^a）上的最小值，最后讨论最小值的符号，从而确定函数f（x）的零点情况．

解答：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x²-3lnx，
∴f'（x）=2x-

3

x

（1分）
∴fˊ（1）=-1
又∵f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1）．
即x+y-2=0．--------------------------------3分
（Ⅱ）（1）下面先证明：e^a＞a（a≥0）．
设g（a）=e^a-a（a≥0），则g′（a）=e^a-1≥e⁰-1=0（a≥0），且仅当g′（a）=0?a=0，
所以g（a）在[0，+∞）上是增函数，故g（a）≥g（0）=1＞0．
所以e^a-a＞0，即e^a＞a（a≥0）．------------------------------5分
（2）因为f（x）=x²-a lnx，
所以f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 )

x

．
因为当0＜x＜

2a

2

时，fˊ（x）＜0，当x＞

2a

2

时，1，fˊ（x）＞0．
又

a

2

＜a＜e^a＜e^2a（a≥0，a＜2a）⇒

2a

2

＜e^a，
所以f（x）在（0，

2a

2

]上是减函数，在[

2a

2

，+∞）是增函数．
所以f（x）_min=f（

2a

2

）=

a

2

(1-ln

a

2

)．------------------------------9分
（3）下面讨论函数f（x）的零点情况．
①当

a

2

(1-ln

a

2

)＞0，即0＜a＜2e时，函数f（x）在（1，e^a）上无零点；
②当

a

2

(1-ln

a

2

)=0，即a=2e时，

2a

2

=

e

，则1＜

2a

2

＜e^a
而f（1）=1＞0，f（

2a

2

）=0，f（e^a）＞0，
∴f（x）在（1，e^a）上有一个零点；
③当

a

2

(1-ln

a

2

)＜0，即a＞2e时，e^a＞

2a

2

＞

e

＞1，
由于f（1）=1＞0，f（

2a

2

）=

a

2

(1-ln

a

2

)＜0．
f（e^a）=e^2a-a lne^a=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
所以，函数f（x）在（1，e^a）上有两个零点．（13分）
综上所述，f（x）在（1，e^a）上有结论：
当0＜a＜2e时，函数f（x）有、无零点；
a=2e时，函数f（x）有一个零点；
当a＞2e时，函数f（x）有两个零点．------------------------------14分．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．