Question

（2010•朝阳区二模）设函数f（x）=2sinxcosx-cos（2x-

π

6

）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）当x∈[0，

2π

3

]时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过二倍角公式已经两角差的余弦函数化简表达式，然后应用两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的系数，利用周期公式求函数f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）根据x∈[0，

2π

3

]，利用（Ⅰ）求出2x-

π

3

的范围，利用正弦函数的最大值直接求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=2sinxcosx-cos（2x-

π

6

）
=sin2x-（cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

）
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

），
所以f（x）=sin（2x-

π

3

）．
函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）因为x∈[0，

2π

3

]，所以2x-

π

3

∈[-

π

3

，π]．
所以，当2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

时，sin（2x-

π

3

）=1，
函数f（x）的最大值为1．…（13分）

点评：本题是中档题，考查二倍角公式与两角和与差的三角函数，函数的周期以及函数的最大值的求法，考查计算能力．