Question

已知

a

=（sinα，-2），

b

=（1，cosα），且

a

⊥

b

．
（1）求cos²α-sinαcosα的值；
（2）若α∈(0，

π

2

)，β∈(-

π

2

，0)，且cos(α-β)=-

10

10

，求β的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的垂直，数量积为0，求出tanα=2，化简cos²α-sinαcosα分子、分母同除cos²α的值，得到tanα的表达式，即可求出值；
（2）通过α∈(0，

π

2

)，β∈(-

π

2

，0)，求出sinα=

2 5

5

， cosα=

5

5

，利用cos(α-β)=-

10

10

，求出sin（α-β）然后利用sinβ=sin[α-（α-β）]，即可求β的值．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，即sinα-2cosα=0，从而tanα=2．…（4分）
∴cos²α-sinαcosα=

cos2α-sinαcosα

sin2α+cos2α

=

1-tanα

tan2α+1

=

1-2

4+1

=-

1

5

．…（8分）
（2）由tanα=2及α∈(0，

π

2

)，得sinα=

2 5

5

， cosα=

5

5

．…（10分）
又β∈(-

π

2

，0)，∴α-β∈（0，π），
∴sin(α-β)=

1-cos2(α-β)

=

3 10

10

，…（12分）
sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=

2 5

5

•(-

10

10

)-

5

5

•

3 10

10

=

2 5

5

•(-

10

10

)-

5

5

•

3 10

10

=-

2

2

．…（14分）
∵β∈(-

π

2

，0)，∴β=-

π

4

．．…（16分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，注意角的变换的技巧是解题的关键．