Question

（2011•重庆三模）已知

a

=（sinωx，-cosωx），

b

=（sinωx，

3

sinωx）（ω＞0），若函数f（x）=

a

•

b

的最小正周期为

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积以及二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期求ω的值；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）得到的函数的解析式，借助正弦函数的单调减区间，求函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=（sinωx，-cosωx）•（sinωx，

3

sinωx）
=sin2ωx-

3

sinωxcosωx
=

1-cos2ωx

2

-

3 sin2ωx

2

=

1

2

-sin（2ωx+

π

6

），
由题意可知T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴ω=2；
（Ⅱ）f（x）=

1

2

-sin（4x+

π

6

），由于2kπ+

π

2

＜4x+

π

6

＜2kπ+

3π

2

，k∈Z，
∴

kπ

2

+

π

12

＜x＜

kπ

2

+

π

3

，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间(

kπ

2

+

π

12

，

kπ

2

+

π

3

)．k∈Z．

点评：本题考查向量的数量积，二倍角与两角和的正弦函数的应用，周期公式、函数的单调性的应用，考查计算能力．