Question

（2011•重庆三模）设函数f（x）=

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x3+x2+ax+b（x＞-1）．
（I）若函数f（x）在其定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（II）若函数f（x）在其定义域上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向上的抛物线，因为函数在（-1，+∞）上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．
（II）先对函数进行求导，根据函数f（x）既有极大值又有极小值，可以得到△＞0且f′（-1）＞0，进而可解出a的范围．

解答：解：（I）由f（x）=

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x3+x2+ax+b（x＞-1）．
得到f′（x）=2x²+2x+a，
因为函数在（-1，+∞）上是单调函数，
所以f′（x）=2x²+2x+a≤0在（-1，+∞）恒成立，由于抛物线开口向上，2x²+2x+a≤0不可能成立；
所以f′（x）=2x²+2x+a≥0在（-1，+∞）恒成立，
则a≥-2x²-2x⇒a≥

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所以实数a的取值范围是：[

1

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，+∞）．
（II）∵函数f（x）既有极大值又有极小值
由题意f′（x）=2x²+2x+a=0在（-1，+∞）上有两解，
∴

△=4-8a 2(-1) 2+2(-1)+a＞0

⇒0＜a＜

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2

故实数a的取值范围0＜a＜

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2

．

点评：此题考查函数在某点取得极值的条件、考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．