Question

设函数.
(1)求函数的单调区间和极值。
(2)若关于的方程有三个不同实根，求实数的取值范围；
(3)已知当(1，＋∞)时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调减区间为(－，)．当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；当x＝时，f(x)有极小值5－4. 
（2）－4<a<5＋4
（3）k≤－3

试题分析：(1) 解：f′(x)＝3x²－6，令f′(x)＝0，解得x₁＝－，x₂＝.
因为当x>或x<－时，f′(x)>0；当－<x<时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.                           ---————-3分
(2)由(1)的分析知 y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4<a<5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的       6分
(3) 解：f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x²＋x－5)≥k(x－1)．
因为x>1，所以k≤x²＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x²＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)>g(1)＝－3.
所以k的取值范围是k≤－3.               10分
点评：本题考查了利用导数求函数单调区间和极值的方法，利用导数研究函数图象解决根的个数问题的方法，不等式恒成立问题的解法