Question

14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=sinx+2cos²$\frac{x}{2}$，a=2，f（B）=$\sqrt{2}$+1时，求边长b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，即可解得A的值．
（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+1，由$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）+1=$\sqrt{2}+1$，解得B的值，利用正弦定理即可求b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b²+c²-a²=bc，
由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，…（3分）
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．  …（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=sinx+2cos²$\frac{x}{2}$=sinx+cosx+1=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+1，
∴f（B）=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）+1=$\sqrt{2}+1$，
∴B=$\frac{π}{4}$，…（9分）
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即：$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{b}{sin\frac{π}{4}}$，
∴b=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$． …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．