Question

19．已知二次函数f₁（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数f₂（x）的图象与直线y=x交于A、B两点，且|AB|=8，f（x）=f₁（x）+f₂（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求证：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）共有三个实数根．

Answer 1

分析 （1）由题意已知二次函数y=f₁（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），设出函数的解析式，然后根据待定系数法求出函数的解析式．
（2）由已知f（x）=f（a），得：x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$，由方程根的思想得到三个根互不相等．

解答 解：（1）设二次函数f₁（x）=ax²+bx+c，
∵f（x）的图象以原点为顶点∴b=0，c=0，
∵过点（1，1），∴a=1，
∴f（x）的解析式为f（x）=x²．
设f₂（x）=$\frac{k}{x}$（k＞0），它的图象与直线y=x的交点分别为A（$\sqrt{k}$，$\sqrt{k}$），B（-$\sqrt{k}$，-$\sqrt{k}$），
由|AB|=8，得k=8，
∴f₂（x）=$\frac{8}{x}$，
故f（x）=x²+$\frac{8}{x}$．
（2）由f（x）=f（a），得x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$，即（x-a）（x+a-$\frac{8}{ax}$）=0，
得方程的一个解x₁=a，
方程x+a-$\frac{8}{ax}$=0化为ax²+a²x-8=0，
由a＞3，△=a⁴+32a＞0得x₂=$\frac{-{a}^{2}-\sqrt{{a}^{4}+32a}}{2a}$，x₃=$\frac{-{a}^{2}+\sqrt{{a}^{4}+32a}}{2a}$，
∵x₂＜0，x₃＞0，
∴x₁≠x₂，且x₂≠x₃，
若x₁=x₃，即a=$\frac{-{a}^{2}+\sqrt{{a}^{4}+32a}}{2a}$，则3a²=$\sqrt{{a}^{4}+32a}$，a⁴=4a，
得a=0或a=$\root{3}{4}$，这与a＞3矛盾，
∴x₁≠x₃，
故原方程f（x）=f（a）有三个实数解．

点评 此题考查了方程根的存在性及其个数的判断，还考察了待定系数法求函数的解析式，综合比较强，难度较大．