Question

8．已知函数y=4b²-3b²sin²θ-3bsinθ+$\frac{9}{4}$的最大值为7，实数b的值为±1．

Answer 1

分析 令sinθ=t（-1≤t≤1），则y=-3b²t²-3bt+4b²+$\frac{9}{4}$，显然b≠0，对称轴为t=-$\frac{1}{2b}$，讨论对称轴和区间[-1，1]的关系，由单调性可得最大值，解方程，即可得到b的值．

解答 解：∵函数y=4b²-3b²sin2θ-3bsinθ+$\frac{9}{4}$的最大值为7，令sinθ=t（-1≤t≤1），
则y=-3b²t²-3bt+4b²+$\frac{9}{4}$，显然b≠0，对称轴为t=-$\frac{1}{2b}$．
①当-$\frac{1}{2b}$≥1，即-$\frac{1}{2}$≤b＜0时，区间[-1，1]为增区间，
当t=1时，取得最大值，即有-3b²-3b+4b²+$\frac{9}{4}$=7，
解得b=$\frac{3±2\sqrt{7}}{2}$∉[-$\frac{1}{2}$，0）；
②当-$\frac{1}{2b}$≤-1，即0＜b≤$\frac{1}{2}$时，区间[-1，1]为减区间，
当t=-1时，取得最大值，即有-3b²+3b+4b²+$\frac{9}{4}$=7，
解得b=$\frac{-3±2\sqrt{7}}{2}$∉（0，$\frac{1}{2}$]；
③当-1＜-$\frac{1}{2b}$＜1即为b＞$\frac{1}{2}$或b＜-$\frac{1}{2}$时，即有t=-$\frac{1}{2b}$时，
取得最大值7，即为$\frac{4（-{3b}^{2}）•（{4b}^{2}+\frac{9}{4}）-{9b}^{2}}{4•（-{3b}^{2}）}$=7，解得b=±1，
故答案为：±1．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和讨论对称轴和区间的关系，运用单调性解题，属于中档题．