Question

20．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A（1，2）为抛物线C上一点．
（1）求C的方程；
（2）若点B（1，-2）在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若k_BP•k_BQ=-2，求证：直线PQ过定点．

Answer 1

分析 （1）设出抛物线方程，代入点A（1，2），即可求出C的方程；
（2）直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y+2=k（x-1），y²=4x，消去y，求出P的坐标，从而求出Q坐标，确定直线PQ的方程，利用直线系方程求出定点坐标．

解答 （1）解：设抛物线方程为y²=ax，代入点A（1，2），可得a=4，∴抛物线方程为y²=4x；
设抛物线方程为x²=my，代入点A（1，2），可得m=$\frac{1}{2}$，∴抛物线方程为x²=$\frac{1}{2}$y；
∴C的方程是y²=4x或x²=$\frac{1}{2}$y；
（2）证明：由（1）可得C的方程是y²=4x．
直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y+2=k（x-1）
将直线BP的方程代入y²=4x，消去y，得k²x²-（2k²+4k+4）x+（k+2）²=0．
设 P（x₁，y₁），∴x₁=$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}$
∴P（$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{2k+4}{k}$）
以-$\frac{2}{k}$替换点P坐标中的k，可得Q（（k-1）²，2-2k）
从而，直线PQ的斜率为$\frac{\frac{2k+4}{k}-2+2k}{\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}-（k-1）^{2}}$=$\frac{2{k}^{3}+4k}{-{k}^{4}+2{k}^{3}+4k+4}$=$\frac{2k}{-{k}^{2}+2k+2}$
直线PQ的方程是y-2+2k=$\frac{2k}{-{k}^{2}+2k+2}$[x-（k-1）²]．
在上述方程中，令x=3，解得y=2．
∴直线PQ恒过定点（3，2）．

点评 本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大，是压轴题．