Question

15．双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的两个焦点为F₁，F₂，点P在双曲线上，且PF₁⊥PF₂，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{13}}{2}$，点P到x轴的距离为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，可得离心率e，设P（m，n），由F₁（-$\sqrt{13}$，0），F₂（$\sqrt{13}$，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及P在双曲线上，满足方程，解方程可得n，进而得到所求P到x轴的距离．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=2，b=3，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$；
PF₁⊥PF₂，设P（m，n），由F₁（-$\sqrt{13}$，0），F₂（$\sqrt{13}$，0），
可得$\frac{n}{m+\sqrt{13}}$•$\frac{n}{m-\sqrt{13}}$=-1，
即为m²+n²=13，
又$\frac{{m}^{2}}{4}$-$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，
解得n=±$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．
即有P到x轴的距离为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{2}$；$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，点满足双曲线的方程，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于基础题．