Question

5．已知|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，则向量4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为30°．

Answer 1

分析 不妨取|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|=2，利用向量的数量积公式，即可求出向量4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角．

解答 解：不妨取|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|=2，则|4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{16+8•1•2•（-\frac{1}{2}）+4}$=2$\sqrt{3}$，
（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=4$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{a}$=4+2$•1•（-\frac{1}{2}）$=3，
∴向量4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角的余弦为$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴向量4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为30°．
故答案为：30°．

点评 本题考查向量4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角，考查向量的数量积公式，正确利用公式是关键．