Question

5．已知$\overrightarrow{a}$为单位向量，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，4）．则|1+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|的最大值为（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 由题意设$\overrightarrow{a}=（cosθ，sinθ）$，再由$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，4）求得$\overrightarrow{b}$，得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，进一步得到1+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4sinθ+3cosθ，运用辅助角公式化积后得答案．

解答 解：设$\overrightarrow{a}=（cosθ，sinθ）$，由$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，4），
得$\overrightarrow{b}=（3-cosθ，4-sinθ）$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（cosθ，sinθ）•（3-cosθ，4-sinθ）
=3cosθ-cos²θ+4sinθ-sin²θ=4sinθ+3cosθ-1，
∴1+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4sinθ+3cosθ=5sin（θ+φ）（tanφ=$\frac{3}{4}$），
则|1+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|的最大值为5．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了三角函数最值的求法，借助于辅助角公式化积是关键，是中档题．