Question

16．过直线2x-y+3=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0交点且面积最小的圆的方程为（　　）

• A． （x+$\frac{3}{5}$）²+（y-$\frac{9}{5}$）²=$\frac{19}{5}$
• B． （x-$\frac{3}{5}$）²+（y-$\frac{9}{5}$）²=$\frac{19}{5}$
• C． （x-$\frac{3}{5}$）²+（y+$\frac{9}{5}$）²=$\frac{19}{5}$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程．

解答 解：配方可得（x+1）²+（y-2）²=4，∴圆心坐标为（-1，2），半径为2，
弦心距d=$\frac{|-2-2+3|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，弦长为2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{95}}{5}$，
过圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆心和直线2x-y+3=0垂直的直线方程为y-2=-$\frac{1}{2}$（x+1），即x+2y-3=0．
最小的圆的圆心为2x-y+3=0与直线x+2y-3=0的交点，解方程组可得（-$\frac{3}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∴所求面积最小的圆方程为：（x+$\frac{3}{5}$）²+（y-$\frac{9}{5}$）²=（$\frac{\sqrt{95}}{5}$）²=$\frac{19}{5}$，
故选：A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，得出面积最小的圆即是以此弦为直径的圆是解决问题的关键，属中档题．