Question

6．已知公差不为零的等差数列{a_n}满足：a₁=3，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S_n表示数列{a_n}的前n项和，求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），由题可知，a₁•a₁₃=a₄²，求出d，再根据等差数列的前n项和公式即可求出；
（2）$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），根据裂项求和即可求出答案．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），由题可知，a₁•a₁₃=a₄²，
即3（3+12d）=（3+3d）²，解得d=2，
则a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
（2）S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2），
则$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
则T_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）}$-$\frac{1}{2（n+2）}$，
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$

点评 本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，以及裂项求和，属于中档题．