Question

8．已知f（x）=2^x，g（x）=|x-1|，令f₁（x）=g（f（x）），f_n+1（x）=g（f_n（x）），则方程f₉（x）=1的所有解的和为（　　）

• A． 30
• B． 25
• C． 7+log₂3
• D． 8+log₂15

Answer 1

分析 利用特殊值法分别求出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x）的解的情况，从而找到规律，进而求出f₉（x）的解的情况，可得它的和．

解答 解：∵f（x）=2^x，g（x）=|x-1|，
∴n=0时：f₁（x）=g（2^x）=|2^x-1|，
令|2^x-1|=1，方程f₁（x）=1的解为x=1；
n=1时：f₂（x）=g（|2^x-1|）=||2^x-1|-1|，
令||2^x-1|-1|=1，方程f₂（x）=1的解为x=0或log₂3；
n=2时：f₃（x）=|||2^x-1|-1|-1|，
令|||2^x-1|-1|-1|=1，方程f₃（x）=1的解为x=1或2；
n=3时：f₄（x）=||||2^x-1|-1|-1|-1|，
令||||2^x-1|-1|-1|-1|=1，方程f₄（x）=1的解为x=0或log₂3或log₂5；
…，
当n=8时，即有方程f₉（x）=1，去绝对值有2^x-1=±1，±3，±5，±7，±9，
解得x=1，2，log₂6，3，log₂10，
相加可得和为6+log₂6+log₂10=8+log₂15．
故选：D．

点评 本题考查了函数的零点问题，注意运用函数的思想和去绝对值的方法，考查运算能力，属于中档题．