Question

3．为了调研某地区男性的身高情况，研究机构在该地区随机抽取了30位不同的男性居民进行身高测量，现将数据整理如下（单位：cm）：
157 168 169 172 159 175 175 176 176 191 159 159 173 174
180 181 170 181 187 157 158 161 162 164 165 178 168 182 184
（1）请将上述数据整理并绘制在如图的茎叶图中；
（2）用样本估计总体若从该地区所有男性居民中随机选取4人，记4人中身高超过175cm的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由该地区随机抽取了30位不同的男性居民身高测量数据，能作出茎叶图．
（2）抽取30人中10人身高超过175cm，概率为$\frac{1}{3}$，X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由该地区随机抽取了30位不同的男性居民身高测量数据，能作出茎叶图：
（2）抽取30人中10人身高超过175cm，概率为$\frac{1}{3}$，
X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=4）=$（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

∵X～B（4，$\frac{1}{3}$），∴EX=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查茎叶图的作法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．