练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    11．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界：
    （1）设f（x）=$\frac{x}{x+1}$，判断f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；
    （2）若函数g（x）=1+a•（$\frac{1}{2}$）x+（$\frac{1}{4}$）x在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

    分析 （1）化简可得f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函数；从而可得|f（x）|≤1，从而求得；
    （2）由题意知-3≤1+a•（$\frac{1}{2}$）x+（$\frac{1}{4}$）x≤3在[0，+∞）上恒成立，从而可得-（4•2x+2-x）≤a≤2•2x-2-x在[0，+∞）上恒成立，从而求得．

    解答 解：（1）f（x）=$\frac{x}{x+1}$=1-$\frac{1}{x+1}$，
    则f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函数；
    故f（-$\frac{1}{2}$）≤f（x）≤f（$\frac{1}{2}$）；
    即-1≤f（x）≤$\frac{1}{3}$，
    故|f（x）|≤1，
    故f（x）是有界函数；
    故f（x）的所有上界的值的集合是[1，+∞）；
    （2）∵g（x）=1+a•（$\frac{1}{2}$）x+（$\frac{1}{4}$）x在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，
    ∴-3≤1+a•（$\frac{1}{2}$）x+（$\frac{1}{4}$）x≤3在[0，+∞）上恒成立，
    ∴-（4•2x+2-x）≤a≤2•2x-2-x在[0，+∞）上恒成立，
    而-（4•2x+2-x）在[0，+∞）上的最大值为-5；
    2•2x-2-x在[0，+∞）上的最小值为1；
    故-5≤a≤1；
    故实数a的取值范围为[-5，1]．

    点评 本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了学生的学习能力及转化思想的应用，属于中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    11．要得到函数y=2sin2x的图象，只需将y=$\sqrt{3}$sin2x-2sin2x+1的图象（　　）
    A．向右平移$\frac{π}{12}$个单位B．向左平移$\frac{π}{12}$个单位
    C．向右平移$\frac{π}{6}$个单位D．向左平移$\frac{π}{6}$个单位

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    12．若a为实数，命题“任意x∈[0，4]，x2-2a-8≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（　　）
    A．a≥8B．a＜8C．a≥4D．a＜4

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    9．函数f（x）=2sinxcosxcos2x的最小正周期为（　　）
    A．2πB．πC．$\frac{π}{2}$D．$\frac{π}{4}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    6．200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h-x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=$\frac{a^x}{{{a^x}+2}}$的图象过点$（{1，\frac{2}{3}}）$．
    （1）求a的值；
    （2）化简$h（0）+h（{\frac{1}{9}}）+h（{\frac{2}{9}}）+…+h（{\frac{8}{9}}）+h（1）$；
    （3）设${a_n}=h（0）+h（{\frac{1}{n}}）+h（{\frac{2}{n}}）+…+h（{\frac{n-1}{n}}）+h（1）$，bn=$\frac{1}{{4{a_n}•{a_{n+1}}}}$，记数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＜2λan+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    16．过直线2x-y+3=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0交点且面积最小的圆的方程为（　　）
    A．（x+$\frac{3}{5}$）2+（y-$\frac{9}{5}$）2=$\frac{19}{5}$B．（x-$\frac{3}{5}$）2+（y-$\frac{9}{5}$）2=$\frac{19}{5}$C．（x-$\frac{3}{5}$）2+（y+$\frac{9}{5}$）2=$\frac{19}{5}$D．以上都不对

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    3．为了调研某地区男性的身高情况，研究机构在该地区随机抽取了30位不同的男性居民进行身高测量，现将数据整理如下（单位：cm）：
    157 168 169 172 159 175 175 176 176 191 159 159 173 174
    180 181 170 181 187 157 158 161 162 164 165 178 168 182 184
    （1）请将上述数据整理并绘制在如图的茎叶图中；
    （2）用样本估计总体若从该地区所有男性居民中随机选取4人，记4人中身高超过175cm的人数为X，求X的分布列和数学期望．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    20．i是虚数单位，复数z=$\frac{2}{1+i}$+2-3i，则|z|=（　　）
    A．5B．4C．3D．1

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    1．lg0.01+（$\frac{1}{2}$）-1的值为0．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案