Question

4．已知函数f（x）=2cos²x-sin2x．
（1）当x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]时，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b=$\sqrt{2}$，其f（$\frac{A}{2}$）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角将函数f（x）转化成f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1．根据正弦函数单调性，求得f（x）的单调性和值域；
（2）将f（$\frac{A}{2}$）=1，代入求得A=$\frac{π}{6}$，根据正弦定理求得B的值，求cosC的值，根据三角形面积公式即可．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x-sin2x，
=2cos²x-1-sin2x+1，
=cos2x-sin2x+1，
=-$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1．
x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，2x-$\frac{π}{4}$∈（-π，$\frac{π}{4}$），
由正弦函数图形，当2x-$\frac{π}{4}$∈（-π，-$\frac{π}{2}$），x∈（-$\frac{3π}{8}$，-$\frac{π}{8}$），f（x）的单调递增；
2x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$），x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$），f（x）的单调递减；
f（x）的值域为（1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）
（2）f（$\frac{A}{2}$）=1，-$\sqrt{2}$sin（A-$\frac{π}{4}$）+1=1，A=$\frac{π}{4}$，
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，sinB=$\frac{1}{2}$，a＞b，B=$\frac{π}{6}$，
sinC=sin（π-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{3π}{4}$cos$\frac{π}{6}$+cos$\frac{3π}{4}$sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{3}+1）}{4}$，
S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{3}+1）}{4}$，
=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
S=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查三角恒等变换、正弦函数单调性和值域及正弦定理，属于中档题．