Question

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f（x）=

x

x+1

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先求出-1＜x＜0的解析式，注意取相反数，转化为已知区间上，结合奇函数的定义可得，再由f（0）=0，即可得到f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在（0，1）上单调递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤．

解答： 解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
当x∈（0，1）时，f（x）=

x

x+1

．
则f（-x）=

-x

-x+1

=

x

x-1

，
∵奇函数f（x）有f（x）=-f（-x）=-

x

x-1

，
当x=0时，f（0）=0，
则f（x）=

- x x-1 ，x∈(-1，0) 0，x=0 x x+1 ，x∈(0，1)

；
（2）函数f（x）在（0，1）上单调递增．
证明如下：设0＜m＜n＜1，则f（m）-f（n）=

m

m+1

-

n

n+1

=

mn+m-(mn+n)

(m+1)(n+1)

=

m-n

(m+1)(n+1)

，
由于0＜m＜n＜1，则m-n＜0，（m+1）（n+1）＞0，
则f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
则有函数f（x）在（0，1）上单调递增．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查函数的解析式的求法，考查运算能力．