Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，BC=CD=

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2

AB=2，G为线段AB的中点，将△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体A-BCDG．
（1）若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：EF∥平面ABG；
（2）求三棱锥C-ABD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）先证明AG⊥底面BCD，再利用V_{三棱锥C-ABD}=V_{三棱锥A-BCD}即可求出．

解答：解（1）∵折叠前后CD、BG的位置关系不变，∴CD∥BG．
∵在△ACD中，E、F分别为AC、BD的中点，∴EF∥CD．
∴EF∥BG．
又∵EF?平面ABG，BG?平面ABG，
∴EF∥平面ABG．
（2）∵BC=CD=

1

2

AB=2，G为线段AB的中点，∴CD=BG，
又∵∠B=90°，CD∥BG，∴四边形BCDG是一个正方形，∴BG⊥DG，AG⊥DG，
折叠后仍然成立，
∵平面ADG⊥平面BCDG，∴AG⊥平面BCDG．
∴V_{三棱锥C-ABD}=V_{三棱锥A-BCD}=

1

3

AG×S△BCD=

1

3

×2×

1

2

×2×2=

4

3

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理及面面、线面垂直的判定和性质定理是解题的关键．