Question

11．已知在△ABC中，角A．B，C所对边分别为a，b，c，C=2A．
（1）若c=$\sqrt{3}$a，求A的大小；
（2）若a，b，c依次为三个连续自然数，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可求cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得解A的值．
（2）由正弦定理可得c=2acosA，设a=b-1，c=b+1，利用余弦定理可求cosA=$\frac{{b}^{2}+（b+1）^{2}-（b-1）^{2}}{2b•（b+1）}$，进而求得b，a，c的值，利用余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵C=2A，c=$\sqrt{3}$a，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}a}{sin2A}=\frac{\sqrt{3}a}{2sinAcosA}$，
∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵C=2A，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{c}{sin2A}=\frac{c}{2sinAcosA}$，
∴由sinA≠0，可得c=2acosA，①
∵a，b，c依次为三个连续自然数，可设a=b-1，c=b+1，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+（b+1）^{2}-（b-1）^{2}}{2b•（b+1）}$，
∴由①可得：b+1=2（b-1）•$\frac{{b}^{2}+（b+1）^{2}-（b-1）^{2}}{2b•（b+1）}$，整理解得：b=5，可得：a=4，c=6，
∴cosA=$\frac{25+36-16}{2×5×6}$=$\frac{3}{4}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×5×6×$$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．